1. julia taylor，有什么小清新的音乐？

谢谢邀请！清新的嗓音，跳跃的节奏，如清晨照进房间里的第一束阳光，暖暖的很贴心。

一是《偏偏喜欢你》世界那么大，我偏偏遇见你；世界那么大，我偏偏钟情于你。王奕心清新的旋律，轻柔的音色，让聆听者有怦然心动的感觉。感受到小女生对爱情的向往与追求，她的歌声能带给我们一种细腻的情感；平凡的爱情故事，能深深体会到小女生的爱情共鸣。

二是《爱你如同爱自己》“回归初心，声见真心；心路漫漫，声声相伴。”这辈无论是芳华正茂的年纪，还是夕阳下沉沉欲睡的样子，同样美丽在每一个夜幕晨曦；当我真正开始爱自己，才认识到，那些成长的痛苦和情感的折磨，都只是提醒我，活着不要违背自己的本心，那个真实的你我，早已分不开你我，爱你就如同爱我自己。也是由王奕心演唱。

三是《OK 歌》听这首单曲的时候，窗外的春花都开了，吹来的风也开始有了明显的暖意，心里甜蜜得就像刚刚遇见了一个人，听见了怦然心动的声音。喜欢一个人是多么美好的事情，告白的时候每个人都是诗人，写出了最能打动人的情话。麦小兜和单色凌的这首《OK 歌》也是一首告白的诗，简简单单的语言，都是真实的悸动，是我们每个人在邂逅时都会有的体验。那个时候，喜欢你就是生活的意义，拥有你就是生命的梦想。

四是《贪恋你的笑》贪恋阳光，贪恋温柔，贪恋你的笑。曲风轻快愉悦。甜美的歌声展现了少女对恋人的绵绵爱意。

五是张雨晨《美丽如诗》星月交辉倾泻满腔的情意，刚体味梦想的旖旎，身旁弥漫着他的气味，残留着他的笑声，你我的一切美丽如诗，如梦如幻。

六是《陌上花开等你来》小荷才露尖尖角，陌上花开暗伤怀，我再期待与你再次重逢，日复一日，我已经想不起你依稀的面容。张雨晨演绎。

七是《爱了很久的朋友》田馥甄演唱，美好的爱情大都相似，而不幸的爱情却成了故事，睽违已久的心动之作。

八是《玻璃糖》是一首future bass 风格的歌曲，非常适合提莫这样甜美的声音，之前听过她的歌，电音这种风格大家听的更多的是英文，但是我相信只要合适的音乐加合适的歌手，就会出合适的作品。这首歌诠释出爱情的神奇魔力。

九是《四季如歌》魏雨新演唱，你问我最爱四季的那一天，我穿起雨丝作珠帘；灵动的嗓音如沐春风，这首歌陪你走过春夏秋冬……

十是《2018~朝你靠近》华语群星，“每过一天我一点点朝你靠近，和你相遇还没到结局，想着去你所在的城市生活，心动的那一刻，全世界跟着静默。

十一是《钻石泪》周奕宏演绎，低稳重的女声慢慢的诉说一个爱情故事。管他错对，管他是非，只要一滴钻石泪。

十二是《如若分手》欧阳朵的单曲，你的身体，你的话语，还在空中弥漫；你的感情却不再属于我了；那就忘掉一切从头开始吧！

2. 你认为有哪些演员可以胜任这一角色？

我认为现在来讲，除了杨超越没有别人了。

杨超越1998年7月31日出生于江苏省盐城市大丰区，中国内地流行乐女歌手、影视演员，女子演唱组合CH2、火箭少女101成员。

2017年，加入女子演唱组合CH2，从而正式出道。2018年，参加腾讯视频女团青春成长节目《创造101》，最终获得第3名，并加入女子演唱组合火箭少女101；同年，相继推出个人单曲《跟着我一起》、《冲鸭冲鸭》、《招财进宝》；12月15日，获得“影响中国”年度演艺人物奖。2019年3月，杨超越被评选为LikeTCCAsia亚太区最美100张面孔第3位、中国区最美100张面孔第1位；6月11日，获得上海国际电影电视节暨互联网影视精品盛典网络综艺年度个人表现奖[11]；同年，相继主演了青春运动励志剧《极限17：羽你同行》、古装玄幻剧《将夜2》、恋爱轻喜剧《仲夏满天心》、仙侠爱情剧《且听凤鸣》。

中文名

杨超越

别名

超越妹妹、超超越越、杨小越

国籍

中国

星座

狮子座

出生地

江苏省盐城市大丰区

出生日期

1998年7月31日

职业

歌手、演员

经纪公司

闻澜文化

代表作品

极限17：羽你同行、卡路里、跟着我一起、O.O、招财进宝、麻烦少女

主要成就

2018年《创造101》总决赛第3名

2018年“影响中国”年度演艺人物奖

2019年LikeTCCAsia亚太区最美100张面孔第3位

2019年LikeTCCAsia中国区最美100张面孔第1位

2019年上海国际电影电视节互联网影视盛典网络综艺年度个人表现奖

明星排行榜10。

芭比娃娃系列电影（动画片）有很多部，上映时间不一，包括童话公主系列、仙子系列、现代系列、假日系列等。出品公司美泰儿。芭比娃娃（Barbie）几乎成了全世界小女孩的心爱之物，也是芭比娃娃系列动画电影的主人公。

风靡全球40多年的芭比娃娃专门为少女和小女孩们设计。给人们最深刻的印象莫过于光彩的倩影，曼妙的身材和恬静的脸庞，这个可爱的洋娃娃身穿不同国籍、不同款式的时尚服装，静静地呆在那里等待着自己的主人。

芭比娃娃一直为千万女孩渴望拥有。

系列电影

童话公主系列

《芭比与胡桃夹子的梦幻之旅》（2001年）

芭比的处女作《芭比与胡桃夹子的梦幻之旅》 (Barbie in the Nutcracker)

胡桃夹子的梦幻之旅

在2001年芭比娃娃推出她的处女作动画影片《芭比与胡桃夹子的梦幻之旅》（Barbie in the Nutcracker），这是一部长75分钟的动画片，是专门为少女和小女孩们设计的。本片通过最先进的CGI电脑动画制作技术，全新演绎霍夫曼的名著《胡桃夹子》，片中芭比饰演女主角嘉娜，她收到胡桃夹子送给她的一份精致的生日礼物，当晚进入梦乡时，邪恶的恶鼠王企图闯入并下了可怕的咒语，胡桃夹子为了保护嘉娜，共同踏上了奇幻的冒险之旅，途中有善良的小精灵解危，最后魔咒解除，胡桃夹子也变成了英俊的王子。

芭比的处女作，集合娱乐产业中的顶尖高手，制片结合环球影业最先进的CGI电脑动画技术制作，片中舞蹈全由芭蕾舞大师彼得马丁编舞，舞蹈动作则由美国纽约市立芭蕾舞团五位舞者负责，再以动作捕捉方式将舞者曼妙的舞姿输入电脑中绘制而成，而舞曲配乐则是由英国伦敦交响乐团演奏柴可夫斯基的悠扬乐章。

《芭比之长发公主》（2002年）

《芭比之长发公主》 (Barbie as Rapunzel)

长发公主

从前，有一个很可爱的17岁女孩丽宝莎，她有着一头全世界最长、最漂亮的头发，喜欢画画。不过，丽宝莎从小就被一个善妒、邪恶且法力高强的女巫歌蒂尔藏在一座庄园中，被当成奴隶使唤，后来丽宝莎发现了一支魔法画笔并用其出入高塔，巧遇了王子史达芬，因此展开了一场与巫婆之间的斗争。靠着朋友们的帮助，丽宝莎发现了自己真实的身份，解除了两国的误会。

一直为千万女孩渴望拥有的芭比娃娃重现银幕，演绎经典童话故事中的芭比之长发公主（Barbie as Rapunzel）在影片中，她追求自由和爱情，却被恶魔锁在施了魔法的高塔上，但凭着勇敢、机智和想象力，几经波折终于化险为夷。

《芭比之天鹅湖》（2003年）

《芭比之天鹅湖》 (Barbie of Swan Lake)

该片取材自十九世纪的经典剧目《芭比之天鹅湖》，并通过全新演绎，一改往日的简单公主王子情节，讲述了一个平凡出身的女孩，凭借勇气、智慧以及顽强意志，和朋友们跨越重重难关，最终战胜恶势力的故事。告诉人们：每个人都比自己想象中勇敢，只要凭着 无比的信心与坚毅的意志，所有人都有力量改变世界。故事中仍保留了原有的王子爱恋上美丽天鹅的动人童话情节，并升华为“真爱战胜一切”的高尚主题。整个动画片由电脑制作，配上精彩的真人芭蕾舞表演和柴可夫斯基的经典音乐，可谓是视觉和听觉的完美享受。

杨超越的长相气质，人气都可以匹配芭比娃娃这个角色。（本文仅个人观点）

3. 现在有什么很火有好听的英文歌？

电影《醉乡民谣》中的《500 miles》

Justin Timberlake 联手Carey Mulligan和Stark Sands在电影中中的精彩演唱。有人说beatles的《yesterday》是被翻唱次数最多的独唱歌曲，那《500 miles》应该是被翻唱次数最多的重唱歌曲了。美国老牌民谣乐队The Brothers Four翻唱较为经典，当然还有Peter,Paul&Mary的翻唱也非常有名。

《500 miles》这首歌的歌词简单而深情

If you miss the train I'm on

You will know that I am gone

You can hear the whistle blow a hundred miles

A hundred miles, a hundred miles

如果你错过了我坐的那班火车

你应明白我已离开

你可以听见一百英里外飘来的汽笛声

一百英里,一百英里

4. 有没有最近比较火的电音和英文歌？

用网易云音乐主要就是听电音和英文歌 这是我的部分歌单 喜欢的话可以去听听哦

5. 戴超贵的围巾是一种什么感受？

应该是把钱围在脖子上的感觉吧……讲真，看到下面这些围巾的价格，Emmmmmm...我想贫穷限制了我的想象！一起来看看。

大家都知道，Balenciaga是时尚圈最爱出“蛇精病”单品的牌子。它家今年有一款鸡毛围巾，长这样，猜猜多少钱？

答案：365英镑（近¥3400），和一条Burberry的羊绒围巾差不多。

这种围巾有个学名，叫Feather Boa，羽毛长围巾，流行于维多利亚时代。元老级时尚Icon雪儿、还有滚石乐队的Mick Jagger都戴过。

▲左图：包揽奥斯卡、艾美、格莱美三项大奖的雪儿；右图：Mick Jagger

除了鸡毛围巾，Balenciaga的17秋冬系列还有一条“床垫”围巾，超大超宽。香奶奶也有类似的，可Miss 烧饼真的欣赏不来...

▲左图：Balenciaga 2017秋冬男装系列；右图：Chanel 2017秋季系列

因为，这两条围巾虽然流行，但戴不好的话，一个像裹被子出街，一个像高中校庆的表演道具，还是啦啦队bling bling的那种...都不够经典。

实际上，围巾作为秋冬必备单品，本身就没必要赶时髦。一来，它不像T恤，每年都必须更新；二来，围巾容易戴出感情，磨合久了根本不想换。

所以，这句话应该这么说：基础款围巾是秋冬必备单品。

不仅保暖，经典不过时，而且能给造型秒速加分！So，趁着好季节，Miss 烧饼就来聊聊这件有温度又有风度的单品吧！

Part.1

基础款：黑色

很多姑娘都和烧饼一样，冬季满衣橱的黑色单品。针织衫、阔腿裤、小皮鞋、呢大衣...而all black style也是冬季街拍里出镜率最高，最不容易出错的搭配。

当然，all black也有缺点。它容易沉闷，不够有层次感。对于哈比人，也很压个子。就像辣妈博主Charlotte这一身，如果大衣是扣起来而非披着，看上去一定很矮。

想不单调又显高地穿all black，办法很简单，加一条黑色围巾就行。耐看又耐脏，除去原本的全身肃穆，多了几分潇洒自由~

哈比人嫌大衣、羽绒服太大，hold不住，也可以用围巾调整比例。今年很火的超长大衣+皮靴，一条围巾就能防止重心下移，轻松转移注意力~

酷girl最爱的机车夹克和黑色围巾也是好亲故~柔软的面料，刚好中和皮质的硬挺感，让整体层次更加丰富。尤其是带流苏的，是不是满满的休闲劲儿？

黑围巾还能和驼色、灰色、深蓝这些中性色外套搭配。超模康康（右图）这身，今年超火的奶油色大衣，简单系上黑围巾，就是冷清又温油的气质女~

▲中间：达妹；右图：康康（Constance Jablonski）

喜欢亮色或印花的姑娘，也可以用黑色压一压。稳重，不至于太跳跃，显脸小又时髦。比如宇博Chiara这身粉色圈圈毛衣+印花裤，全靠黑包包，黑围巾才显得没那么浮夸。

▲右图：Chiara

之前《歌舞青春》的女主Vanessa也这么穿过，鲜红色的连衣裙，随意搭在脖子上的黑围巾，满满的高级女神范儿~经典的红黑配，真的永远玩不腻。

▍挑选Tip：

虽然黑色很难踩雷，但也要避开又薄又易皱的面料，尤其是透明的材质，更是大雷区。这种不仅本身显low，还会连带让大衣没有质感。

▍单品推荐：

▲来自 Johnstons Of Elgin（英国国宝级羊绒品牌）（¥892）

Part.2

基础款：白色

初雪时最应景的就是白色围巾啦，干干净净，完全就是撩汉必备，围巾界的“斩男”选手嘛~

它和黑色一样百搭，不管是打安全牌搭黑白灰驼蓝，还是搭亮色，它都能hold住。

而且，它比黑色更凸显女人味和知性美。超杀女这身all white，加上一条长长的白色围巾，真的又美上一个新高度！

而且，原本all white就很适合通勤。只不过比黑色更讲究层次感，所以围巾这类配件必不可少。像杰西卡·阿尔芭这样，带上平檐帽，再套件大衣，就是帅气随性的实用性穿搭~

驼色和白色也可以组CP~之前上野树里在《家族的形式》里就这么穿过，压在驼色大衣领下面，优雅又气场十足。

还有很多姑娘不懂该怎么搭的浅蓝色大衣，想保留原本的清新感，白色是比黑色更好的选择~

不想太单调的话，还可以尝试一些特别的围法。

不对称的一长一短，或是用腰带系在腰间当大衣装饰，甚至干脆甩在身后，利落潇洒的背影，走起路来都带风~

▍挑选Tip：

白色围巾的缺点很明显。一是不耐脏，不经穿；二是挑的不对的话，围起来可能像周润发...

▲发哥毕竟是帅且有气场的，弄不好也可能像毛宁....

办法就是买的时候不要挑纯白色，可以选带一点灰调，或米色调的白色。同时材质不要太轻薄，细密的羊毛和羊绒，还有略厚重的粗棒针织都不错。

之前维秘天使小泰山Taylor Hill就围过一条，绒绒的质感完全就是冬季小仙女的模样！

▍推荐单品：

▲左图：Johnstons Of Elgin（¥3018）；右图：Lauren Manoogian

Part.3

基础款：灰色

其实，每年秋冬被时装精翻牌子最多的，并不是黑白围巾，而是灰色围巾。兼具了黑白优点，百搭、耐脏、而且不沉闷。

▲小泰山：红唇+灰围巾+头发塞围巾里，惊艳！！

灰色自带高级属性，男女都能戴，不管搭什么衣服都特别显贵。尤其和粉色配一脸，冷淡的灰加上软萌的粉，刚好“娘man”平衡。

今年超火的格纹大衣和经典的人字纹西装，想要在撞衫大军里赢得彻彻底底，直接围一条灰色围巾就行。

还有最考验穿搭功力的all gray style，也可以靠一条不同深浅的灰围巾，摆脱“灰头土脸”。

这也是朱莉的标志性look，超大围巾当披肩披在身上，绝对是女神本神嘛！

当然，提到灰色围巾就不得不说Acne Studios啦！它应该是这两年最火的明星同款，带货女王大幂幂免费为它打call，围它的ins网红都能绕地球好几圈啦~~

▲右图：大幂幂

Miss 烧饼自己也早早入手了一条，颜色多美就不说了~厚实的纯羊毛，摸起来手感超顺滑。再加上超长超宽，围法超多，所以几年下来根本不用换新，光靠它就能解决我一橱的大衣！

▲图片来自Pinterest

当然它也有缺点，就是有一丢丢刺人，而且不太敢洗，毕竟贵，所以我一般都拿去干洗店护理。

▍挑选Tip：

按照深浅灰色分很多种，最正的高级灰是Granite Gray，偏深的花岗岩色，也是Acne那条的相似色，姑娘们对比色卡买就行。

▍推荐单品：

▲Acne Studios Canada系列，¥1197

Part.4

基础款：驼色系

除了灰色，驼色也是不错的选择。它比灰色有温度，适合知性温婉的女孩子。而且和黑色一样，亮片、荧光粉这样跳跃的元素和颜色，它也能压得住。

女魔头安娜·温图尔就超爱驼色围巾。都知道，她可是动物纹皮草狂魔，而驼色不仅提亮了造型，还让整体没那么夸张了。

最经典的look，搭配驼色单品。不管是针织、风衣还是大衣，穿上就是Max Mara画报既视感。

或者像这样叠穿，内搭一身黑，再用浴袍大衣的腰带把围巾系在腰间，大女人范儿马上就来了。只是这个还蛮考验身材的，仅限于纸片身材尝试~

除此之外，搭藏蓝色大衣，套上一双牛津鞋或切尔西靴，是不是很想穿去校园走一走？

今年还很流行类似于驼色的焦糖色围巾。烧饼超爱的时尚博主Julia Engel就有一条，她示范了N种穿搭，既可以搭浅驼色和灰色大衣走简约气质路线；

又可以搭蓝色格纹斗篷或千鸟格大衣，走文艺复古风。尤其是左边那一身，焦糖色围巾刚好和外套上的棕色呼应，加上一顶贝雷帽，艺术小资女上线~

▍挑选Tip：

驼色种类太多，选不好很容易显黄显土，所以最好试过再买，具体的挑选方法很复杂，下次会单独出一篇【驼色系】专题来讲~

▍推荐单品：

▲杨幂同款，Acne Studios Canada系列，¥1408

▲Johnstons Of Elgin，¥892

Part.5

基础款：红色

圣诞季、本命年、2018...哈哈，一到年底，各种信号都在告诉你，快来一条红色围巾吧！

作为韩剧女主的标配，从几年前的《想你》，到去年大热的《鬼怪》，红围巾就一直没少出现。这么多年了，韩剧的审美真是一点没变...

也是，作为吸引男生的首选，红色的确是除黑白灰驼外，最基础的有彩色了。况且...红围巾男生也能围得很好看啊，例如我们的C-pop King，污力韬韬同志~

红黑配是经典搭配~不同长度、不同款式的黑色外套，搭配红色针织或羊绒围巾，醒目又特别~

或者像娜扎这样，白色修身针织，配简单的牛仔，再来一条红色细围巾，拉高身形的同时，还带来视觉冲击。冬天保暖不显臃肿的装扮你get到了吗？

更大气一点，还可以像凯特王妃这样，搭配藏青色风衣。这种打扮很适合过年回家见家长，毕竟端庄又喜庆的风格才更讨他们喜欢。

红色+红色也是这两年很流行的穿法，重点把握好不同深浅，不要一码同样的红，有区别才不扎眼。

▍挑选Tip：

红色千千万~鲜红色容易视觉疲劳，所以建议选择偏暗的红色，比如酒红和暗红色，恰到好处的鲜亮才更养眼~

▍推荐单品：

▲Johnstons Of Elgin，右图¥892

Part.6

基础款：格纹

作为今年的大势元素，格纹在街拍里几乎无处不在。西装、半身裙、迷笛裙...复古的gentleman风作为经典又再次回归，当然还有老派的格纹围巾~

比起前面五种基本款围巾，格纹围巾不光内敛，又足够特别，算是秋冬配件终结者。再无聊的大衣，只要一条格纹围巾，都能变得不一样~

最经典的红色和墨绿苏格兰格子围巾，适合学院派妹子。不管是搭黑色大衣，还是飞行员夹克都很美。尤其是墨绿色，配上红唇和姜黄色毛衣，大学就该这么穿呀~

还可以趁着流行试试偏脏橘的格纹围巾。比如Julia Engel这一身，橘色短大衣搭配围巾，暖暖的冬日气息~

今年还特别流行边界模糊的格纹围巾，就像《当你沉睡时》里秀智围的那种，相比于传统格纹，多一分温柔，少几分干练，属于慵懒型。

Ines de la Fressange也有一条，黑色底色再点缀以白色，简简单单，就连搭配羽绒服都是浓浓的法式风情。

除此之外，就是千鸟格啦。这种印花穿起来会显成熟，比苏格兰格纹更适合职场girl。不想太娘的话，可以搭一些酷酷的单品，比如丝绒衫或大翻领大衣。

▍挑选Tip：

虽然格纹经典，但选不好也可能很村炮。姑娘们可以看这篇文复习下，主要就是选择质感好的面料，主色调适合自己肤色，同时邻近色构成的格纹更简洁百搭。

▍推荐单品：

▲Johnstons Of Elgin，右图¥623

好啦，有风度又有温度的围巾就到这里啦~文中推荐很多都来自Johnstons of Elgin，这个牌子已经有200多年的历史啦，是王室御用，所以不管是颜色还是面料都满满的贵族气质。

6. 复数的本质是什么？

数的概念扩展

复数

形如z=a+bi（a,b均为实数）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。

当虚部等于零时，这个复数可以视为实数；当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，即任何复数数多项式在复数域中总有根。

复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。

中文名复数表达式z＝a+bi提出时间公元1世纪相关定理欧拉公式、棣莫佛定理命名者Rene Descartes

外文名complex number提出者Heron of Alexandria应用学科数学所属集合无序集合

简介 我们把形如z=a+bi（a，b均为实数）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。当虚部等于零时，这个复数可以视为实数；当z的虚部不等于零时，实部不等于零时，常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，也即任何复数数多项式在复数域中总有根。 复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。

历史 最早有关复数方根的文献出于公元1世纪希腊数学家海伦，他考虑的是平顶金字塔不可能问题。

16世纪意大利米兰学者卡尔达诺（Jerome Cardan，1501—1576）在1545年发表的《重要的艺术》一书中，公布了一元三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”。他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家，并且在讨论是否可能把10分成两部分，使它们的乘积等于40时，他把答案写成

，尽管他认为和这两个表示式是没有意义的、想象的、虚无飘渺的，但他还是把10分成了两部分，并使它们的乘积等于40。给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔（1596—1650），他在《几何学》（1637年发表）中使“虚的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来。

数系中发现一颗新星——虚数，于是引起了数学界的一片困惑，很多大数学家都不承认虚数。德国数学家莱布尼茨（1646—1716）在1702年说：“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐蔽所，它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”。然而，真理性的东西一定可以经得住时间和空间的考验，最终占有自己的一席之地。法国数学家达朗贝尔（1717—1783）在1747年指出，如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算，那么它的结果总是a+bi的形式（a、b都是实数）。法国数学家棣莫弗（1667—1754）在1722年发现了著名的棣莫佛定理。欧拉在1748年发现了有名的关系式，并且是他在《微分公式》（1777年）一文中第一次用i来表示-1的平方根，首创了用符号i作为虚数的单位。“虚数”实际上不是想象出来的，而它是确实存在的。挪威的测量学家韦塞尔（1745—1818）在1797年试图给予这种虚数以直观的几何解释，并首先发表其作法，然而没有得到学术界的重视。

十八世纪末，复数渐渐被大多数人接受，当时卡斯帕尔·韦塞尔提出复数可看作平面上的一点。数年后，高斯再提出此观点并大力推广，复数的研究开始高速发展。诧异的是，早于1685年约翰·沃利斯已经在De Algebra tractatus提出此一观点。

卡斯帕尔·韦塞尔的文章发表在1799年的《Proceedings of the Copenhagen Academy》上，以当今标准来看，也是相当清楚和完备。他又考虑球体，得出四元数并以此提出完备的球面三角学理论。1804年，Abbé Buée亦独立地提出与沃利斯相似的观点，即以来表示平面上与实轴垂直的单位线段。1806年，Buée的文章正式刊出，同年让-罗贝尔·阿尔冈亦发表同类文章，而阿冈的复平面成了标准。1831年高斯认为复数不够普及，次年他发表了一篇备忘录，奠定复数在数学的地位。柯西及阿贝尔的努力，扫除了复数使用的最后顾忌，后者更是首位以复数研究著名的。

复数吸引了著名数学家的注意，包括库默尔（1844年）、克罗内克（1845年）、Scheffler（1845年、1851年、1880年）、Bellavitis（1835年、1852年）、乔治·皮库克（1845年）及德·摩根（1849年）。莫比乌斯发表了大量有关复数几何的短文，约翰·彼得·狄利克雷将很多实数概念，例如素数，推广至复数。

德国数学家阿甘得（1777—1855）在1806年公布了复数的图象表示法，即所有实数能用一条数轴表示，同样，复数也能用一个平面上的点来表示。在直角坐标系中，横轴上取对应实数a的点A，纵轴上取对应实数b的点B，并过这两点引平行于坐标轴的直线，它们的交点C就表示复数 。像这样，由各点都对应复数的平面叫做“复平面”，后来又称“阿甘得平面”。高斯在1831年，用实数组 代表复数 ，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也像实数一样地“代数化”。他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词，还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合。统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中，并把数轴上的点与实数一一对应，扩展为平面上的点与复数一一对应。高斯不仅把复数看作平面上的点，而且还看作是一种向量，并利用复数与向量之间一一对应的关系，阐述了复数的几何加法与乘法。至此，复数理论才比较完整和系统地建立起来了。

经过许多数学家长期不懈的努力，深刻探讨并发展了复数理论，才使得在数学领域游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的面纱，显现出它的本来面目，原来虚数不“虚”。虚数成为了数系大家庭中一员，从而实数集才扩充到了复数集。

随着科学和技术的进步，复数理论已越来越显出它的重要性，它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义，而且为证明机翼上升力的基本定力起到了重要作用，并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力，也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据。

主要内容

定义

数集拓展到实数范围内，仍有些运算无法进行（比如对负数开偶数次方），为了使方程有解，我们将数集再次扩充。

在实数域上定义二元有序对z=(a,b)，并规定有序对之间有运算"+"、"×" (记z1=(a,b),z2=(c,d))：

z1+ z2=(a+c,b+d)

z1× z2=(ac-bd,bc+ad)

容易验证，这样定义的有序对全体在有序对的加法和乘法下成一个域，并且对任何复数z，我们有

z=(a,b)=(a,0)+(0,1) × (b,0)

令f是从实数域到复数域的映射，f(a)=(a,0)，则这个映射保持了实数域上的加法和乘法，因此实数域可以嵌入复数域中，可以视为复数域的子域。

记(0,1)=i,则根据我们定义的运算，(a,b)=(a,0)+(0,1) × (b,0)=a+bi，i × i=(0,1) × (0,1)=(-1,0)=-1，这就只通过实数解决了虚数单位i的存在问题。

形如

的数称为复数（complex number)，其中规定i为虚数单位，且

（a，b是任意实数）

我们将复数

中的实数a称为复数z的实部（real part）记作Rez=a

实数b称为复数z的虚部（imaginary part）记作 Imz=b.

当a=0且b≠0时，z=bi，我们就将其称为纯虚数。

复数的集合用C表示，实数的集合用R表示，显然，R是C的真子集。

复数集是无序集，不能建立大小顺序。

复数的模

将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数的模，记作∣z∣.

即对于复数

，它的模

共轭复数

释义

对于复数

，称复数

=a-bi为z的共轭复数。即两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数(conjugate complex number）。复数z的共轭复数记作

。

性质

根据定义，若

(a，b∈R），则

=a－bi（a,b∈R）。共轭复数所对应的点关于实轴对称。两个复数：x+yi与x-yi称为共轭复数，它们的实部相等，虚部互为相反数。在复平面上，表示两个共轭复数的点关于X轴对称，而这一点正是"共轭"一词的来源----两头牛平行地拉一部犁，它们的肩膀上要共架一个横梁，这横梁就叫做"轭"。如果用z表示x+yi，那么在z字上面加个"一"就表示x-yi，或相反[1]。

共轭复数有些有趣的性质：

复数的辐角

编辑

概述

在复变函数中，自变量z可以写成

，r是z的模，即r = |z|；θ是z的辐角，记作： Arg（z）。在-π到π间的辐角称为辐角主值，记作： arg（z）（小写的A）。

释义

任意一个不为零的复数

的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍。把适合于-π≤θ<π的辐角θ的值，叫做辐角的主值，记作argz。辐角的主值是唯一的。

指数形式：

。

6运算法则

编辑

加法法则

复数的加法法则：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。

即

乘法法则

复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i2= -1，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。

即

除法法则

复数除法定义：满足

的复数

叫复数a+bi除以复数c+di的商。

运算方法：将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再用乘法法则运算，

即

开方法则

若zn=r(cosθ+isinθ），则

（k=0，1，2，3…n-1）

运算律

加法交换律：z1+z2=z2+z1

乘法交换律：z1×z2=z2×z1

加法结合律：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)

乘法结合律：(z1×z2)×z3=z1×(z2×z3)

分配率：z1×(z2+z3)=z1×z2+z1×z3

i的乘方法则

i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1（其中n∈Z）

棣莫佛定理

对于复数z=r(cosθ+isinθ），有z的n次幂

zn=rn[cos(nθ)+isin(nθ)] （其中n是正整数）

则

7分类

数的分类拓展到复数范围后，我们对复数范围的数集做以下分类

复数（a+bi）——集合符号C—实数（复数当b=0时）——集合符号R——有理数——集合符号Q（p/q)———①正有理数——集合符号Q+————正整数——集合符号N+或N*—————1—————质数—————合数————正分数———①0———①负有理数——集合符号Q-————负整数——集合符号Z-————负分数———②整数——集合符号Z————（自然数）——集合符号N————奇数————偶数———②分数——无理数———正无理数———负无理数—虚数（b≠0)——纯虚数（a=0)——混虚数（a≠0）

注：①②代表对“有理数”两种不同的分类方式。

8应用

系统分析

在系统分析中，系统常常通过拉普拉斯变换从时域变换到频域。因此可在复平面上分析系统的极点和零点。分析系统稳定性的根轨迹法、奈奎斯特图法（Nyquist plot）和尼科尔斯图法（Nichols plot）都是在复平面上进行的。

无论系统极点和零点在左半平面还是右半平面，根轨迹法都很重要。如果系统极点

位于右半平面，则因果系统不稳定； 都位于左半平面，则因果系统稳定； 位于虚轴上，则系统为临界稳定的。如果系统的全部零点和极点都在左半平面，则这是个最小相位系统。如果系统的极点和零点关于虚轴对称，则这是全通系统。

信号分析

信号分析和其他领域使用复数可以方便的表示周期信号。模值|z|表示信号的幅度，辐角arg(z)表示给定频率的正弦波的相位。

利用傅立叶变换可将实信号表示成一系列周期函数的和。这些周期函数通常用形式如下的复函数的实部表示：

其中ω对应角频率，复数z包含了幅度和相位的信息。

电路分析中，引入电容、电感与频率有关的虚部可以方便的将电压、电流的关系用简单的线性方程表示并求解。（有时用字母j作为虚数单位，以免与电流符号i混淆。）

反常积分

在应用层面，复分析常用以计算某些实值的反常函数，藉由复值函数得出。方法有多种，见围道积分方法。

量子力学

量子力学中复数是十分重要的，因其理论是建基于复数域上无限维的希尔伯特空间。

相对论

如将时间变数视为虚数的话便可简化一些狭义和广义相对论中的时空度量 (Metric) 方程。

应用数学

实际应用中，求解给定差分方程模型的系统，通常首先找出线性差分方程对应的特征方程的所有复特征根r，再将系统以形为f(t) =e的基函数的线性组合表示。

流体力学

复函数于流体力学中可描述二维势流(2D Potential Flow）。

碎形

一些碎形如曼德勃罗集合和茹利亚集(Julia set) 是建基于复平面上的点的。

实变初等函数

我们把数学分析中基本的实变初等函数推广到复变初等函数，使得定义的各种复变初等函数，当z变为实变数x(y=0）时与相应的实变初等函数相同。

注意根据这些定义，在z为任意复变数时，

①．哪些相应的实变初等函数的性质被保留下来

②．哪些相应的实变初等函数的性质不再成立

③．出现了哪些相应的实变初等函数所没有的新的性质。

复变指数函数

ea+bi=eaebi=ea(cosb+isinb)

复数的三角函数

证明：把yi代入泰勒级数，借助

和

来化简即可；

同理可得aix=cos(xlna)+isin(xlna)= (eix)lna

借助eix=cosx+isinx可以方便地证明棣莫佛定理[2]。

探讨一：

对于这个问题, 我觉得没什么"哲学"的. 数学引发出来的哲学问题不在这里. 而关于计量单位制, 它实际上只是一种规定而已, 比如对于"千克"这个单位, 重要的不是"这个东西究竟有多重", 而是"这东西的质量跟参照物的比值有多大"(不知道的就去查查千克原器). 现在不谈单位的问题, 因为它涉及到跟下文毫无关联的数学内容(齐次函数和\Pi定理等等).下面来就事论事.先不谈虚数单位的定义. 我们来看看数据是如何扩充的.整数抽象自日常的计数. 但是对于"半个馒头"等等的计数问题, 整数无能为力. 把问题精确地写出来, 就是: 多少个(相同的)馒头加在一起是一个馒头? 为此我们需要引入"半个馒头". 换句话说, 我们需要引入方程2x=1的解. 从而我们从直观上知道了什么叫做"有理数". 负数的引入同样是为了解这样的一次方程, 不赘述.[注: 我们觉得有理数很好理解, 不过是因为我们习惯了而已. 数学常常要打破习惯, 从而看到不一样的景色.]但是有理数究竟是什么? 对于正整数, 我们可以从日常的经验中抽象出来它的性质, 例如说"1是一只羊, 一头牛, 一个人......的共有的数量属性"(这句话本身含义不清楚, 但我们先不去管它). 正的有理数可以通过"等分"来直观地理解. 对于"零"和负数, 这种直观认知就已经有点困难了; 回想一下罗马人是如何对待零的. 为了弥补这种语义上的模糊带来的缺陷, 数学家发明了严格的定义; 下面再讲.对于无理数, 问题就更加严重, 因为日常计数问题中没有它的对应物. 实际上, 正如我们所知道的, 最早的无理数来源于几何度量问题: \sqrt2是最为人们熟知的无理数. 但是这依旧可以归结为为方程寻找根. Pythagoras学派遇见\sqrt2就是因为他们要为方程x^2=2寻找根. 这样, 我们从直观上知道了根式的含义.由此立刻产生了问题: 很多具有整系数的二次方程是没有根的(以及更高次的方程). 最简单的例子就是x^2=-1. 在抽象思维还不发达的时期, 这种方程确实是没有什么意思. 但正如我们所知道的, 情况从Cardano的时期开始发生了变化. 这段时间内不断地涌现出当时的数学家们无力解释的对象, 而"-1的平方根"就是一个最明显的例子. 为了使得三次方程有形式统一的求根公式, 不得不引入这个"毫无意义"的"虚数单位". 尽管意义不明确, 数学家们还是依靠虚数单位得到了一系列有意思的结果(当然, 很多时候它不过是一种形式上的运算; 只在实数的范围内并非不可以进行, 只是会麻烦得多).[由此我们可以看到"为方程寻找根"实际上是一个比"定义圆周率"要抽象得多的问题, 因为后者是"客观存在"的(现在不追究这是什么意思, 下文再讲), 而前者却不一定有什么现实对应物].我们知道Euler时期就已经对实数有了模糊的概念(他已经发现了很多跟e,\pi有关的结论), 但对于"虚数", Euler还是不能真正搞清楚, 尽管在形式上他得到了Euler公式e^{ix}=\cos x+i\sin x.[这个公式的含义实际上也不明确; 什么叫把e自乘i次?]Dedekind等人严格地定义了实数, 至此人们总算是能够用不引发歧义的语言来描述实数. 按照现在的观点, 实数其实也只是一个思维对象, 十进制小数和Dedekind分化等等不过是这个思维对象在现实中的实现. 而圆周率等等需要借助几何度量来定义的实数也可以纳入这个逻辑框架之下了, 因为有了分析学的帮助后, 我们就能够说清楚什么是"曲线的长度"了.但是对于"虚数", 不得不承认, 我们还是感到困难, 因为它并没有实在的对应物, 可偏偏在实际问题(流体力学, 传热学, 电学etc)之中有着重要的应用.怎么才能够为方程x^2=-1找到一个合理定义的"解"呢?我们当然可以通过实数域上的二维可除代数来定义复数. 但这样似乎没法做太多的推广. 所以我们换一种方式来考虑问题. 这种方式能够让我们说清楚什么是"添加代数方程的根".对于给定的域k, 考虑上面的多项式环k[x].[注: 回忆一下, 多项式环k[x]定义为无限循环群的系数在k中的(具有有限支撑的)群代数, 不应作为"多项式函数"来考虑.]对于一个不可约多项式f(x)\in k[x], 我们想要找到它的根. 为此, 考虑f(x)生成的理想I. 有不可约性, 它应当是极大理想, 所以商环K=k[x]/I是个域. 它包含了一个同k同构的子域, 所以可以看成是k的一个扩张. 进而, f(x)也可自然地看作是K上的多项式.K中的元素是等价类g(x)+I; 我们来特别地考虑类x+I. 根据商环的运算性质, 我们立刻得到f(x+I)=I. 换句话说, 在域K中, x+I是多项式f(x)的根. 至此, 我们找到了f(x)的一个根. 剩下的不过是通过不断地扩充域来穷尽f(x)的所有根(根据多项式的基本性质, 它在任何域中的根的数目都不可能超过它的次数).这样, 我们知道了"添加代数方程的根"的严格含义. 至于"有理数"的定义, 则要简单得多; 无非就是整环的分式域而已.如果某域上的任何代数方程在这域中都有解, 则这域称作代数闭的. 对于这类域, 研究其上的多项式是一件比较容易的事情; 实际上, 任何多项式都可以分解成线性因式的乘积(Bezout定理).回到复数的情形, 取k=\mathbb{R}, f(x)=x^2+1, 则得到地域扩张就是复数\mathbb{C}. 这个域是代数闭的; 这是所谓的"代数基本定理", 有很多很多的(代数的, 是分析的, 复分析的, 拓扑的,...... )证明, 但代数味道最浓的自然还是基于代数学的证明. 正因为\mathbb{C}是代数闭的, 它才在数学中扮演着举足轻重的角色. 只举最简单的例子. 为了计算某个方阵的100次乘幂, 我们常常需要把它化为Jordan标准型, 而这必须要借助复数来加以实现. 要是不通过复数, 则计算量会大得难以想象.说了这么多, 才发现自己写了很多似乎很"哲学"的话, 之后后面一部分是干货. 但假如前面的"哲学"能够帮助一些人想清楚问题的话, 我也很欣慰.

探讨二：令人困惑的数学定义之二 ——虚数单位i定义

拿负数来开平方有必要吗？有必要！

但是这个问题的完整解答，远不止于“定义：i^2=-1”。

一、笔者首先简要地介绍有理数集：

1、我们有自然数集和加法运算，自然数集对加法运算封闭（两个自然数做加法运算结果还是自然数）。

2、加法运算的逆是减法运算，但是自然数集对减法运算不封闭（不能保证任意两个自然数做减法运算结果还是自然数）；通过定义了负数，把自然数集扩充为整数集；整数集对加法运算和减法运算都封闭（人们认可负数经历了很长的过程，原因是认为负数没有现实意义）。

3、乘法运算的逆是除法运算，整数集对乘法运算封闭，但是对除法运算不封闭；通过定义了分数，把整数集扩充为有理数集；有理数集对加法运算、减法运算、乘法运算和除法运算（除数非零）都封闭。

4、有理数集更严格的称谓是“有理数域”，但是“域”的解释需要抽象代数的内容，为了通俗起见，笔者就把“有理数域”称为“有理数集”；以上的“集”都是集合的意思，就是同一类数的集合；比如自然数集、整数集。

二、万物皆数与毕达哥拉斯定理：

1、古希腊时期的毕达哥拉斯学派认为”万物皆数“并奉为教义，这里的数指的是有理数；这种信念源于他们对自己构造的有理数集的自信，他们认为有理数集已经包含了所有的数。

2、随后这个学派发现了”毕达哥拉斯定理“，即”勾股定理“，并用面积法给出了证明。

image.png

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3、如果”万物皆有理数“的话，那么直角三角形的斜边也应该是有理数；但是毕达哥拉斯学派的希帕索斯（Hipasus)找到了这样的例子并给出了证明：a=1，b=1，由a、b通过勾股定理确定的c不是有理数！有一种说法是Hipasus因为这个发现被逐出了学派，另一种说法是他遭到了学派的屠戮。

4、无论如何，有理数集中没有这样”c“，但是现实中确实存在这样的c，那唯一的原因就是毕达哥拉斯学派创造的有理数集存在缺陷，没有涵盖所有的数！

5、通过添加开n次方运算，把有理数集扩充为实集（实集不是实数集，只是部分实数的集合，这里的实集严格来说只是有理数集的n次代数扩张）。

6、实集对加法运算、减法运算、乘法运算和除法运算（除数非零）封闭，实集中的正数还对开n次方运算封闭，实集中的负数对开奇数次方运算封闭而对开偶数次方不封闭；特别的，√（-1）不在这个实集中，换言之在这个实集中没有数的平方等于（-1）。

三、是添加定义的时候了吗？

1、那是否应该添加定义”i^2=-1”或是“i=√（-1）”,把上述的实集做成一个更大的数集？

答案是人们认为没有必要！

2、人们认为正数开方是有意义的，因为开方的结果在现实中有这样的元算与之对应。正如√2，人们确实能找到一条长度不多不少恰好是√2的线段。

3、人们认为负数开方是没有意义的，因为开方的结果在现实中没有这样的元素与之对应。当然笔者还说过，那个时代，人们甚至还不认可负数，因为在现实中没有”负“的线段。³√（-2）=-³√（2）只是正数开方的一种”变形“；至于√（-1），那更没有人关心有没有东西与它对应了，因为它没有现实意义。

四、三次、四次方程与求根公式：

1、所谓的方程，就是含有未知量的等式；未知量是数，方程就是代数方程；未知量是函数，方程就是函数方程（例如微分方程和积分方程）；方程的解，就是一个能使方程成立的量；代数方程的解是数，这样的数称为代数方程的根。

2、代数方程里，人们比较关注多项式方程，因为这样的方程与人们的生产生活密切相关；古典数学时期，数学家研究的方程也主要是多项式方程。下文出现的”方程“都特指”多项式方程“。

3、所谓的方程的求根公式，就是用方程的系数通过加减乘除和开方运算来构造根的式子。

4、一次方程和二次方程的求根公式很早就被发现了，人们致力于寻找三次和更高次方程的求根公式。

5、16世纪意大利数学家菲尔洛(Ferro)发现了缺二次项的、即形如x3+px+q=0的三次方程的求根公式。因为当时人们普遍不接受负数，所以实际上Ferro是把缺二次项的三次方程分成了三类：x3+px=q、x3=px+q、x3+q=px，p和q都是正数；他分别给出了解法。

6、有意思的是，当时的数学家之间流行”决斗“（文艺复兴时期的风气？）。所谓的”决斗“，就是相互要求对手解决自己提出的问题。所以Ferro把自己的三次方程求根公式作为决斗时秘密武器，没有发表。也因为这个求根 公式，Ferro在决斗中屡屡获胜，名声鹊起。

7、Ferro死前，把自己的秘密武器传授给了学生菲奥尔（Fior)和女婿兼继承人纳威（Nave）。

8、Fior也是一个争强好胜的人，他向当时的数学家塔尔塔利亚（Tartaglia，这不是原名，意为口吃者，Tartaglia孩童时期被法国士兵用马刀砍伤了脸变成口吃）提出挑战。Tartaglia并不知道缺二次项的三次方程的求根公式，但是在挑战的压力下，竟然成功地推导出了一般的求根公式！因此，Tartaglia在与Fior的决斗中大获全胜，因为后者并不会解形如x3+rx2+px+q=0的一般三次方程。Tartaglia名声鹊起。

9、卡尔丹（Cardano）得知这件事后，多次乞求Tartaglia把求根公式告诉他。作为回报，Cardano许诺给予Tartaglia经济上的援助。Tartaglia最终耐不住Cardano的软磨硬泡和利益诱惑，把求根公式以一首晦涩难懂的语句诗的形式告诉了Cardano，并要求Cardano发誓保密。

10、后来，Cardano从Nave那里了解到Ferro的求根公式，认为Tartaglia的求根公式本质上和Ferro的求根公式是一样的（其实一般的三次方程通过一个变量代换就可以转化为缺二次项的三次方程，待会大家就会看到）。

11、所以Cardano不顾自己的誓言，把求根公式传授给了学生费拉里（Ferrari），Ferrari在此基础上竟然发现了四次方程求根公式！

12、Cardano把三次方程求根公式和学生Ferrari的四次方程求根公式发表在了自己的著作《重要的艺术》（Ars magna）。Cardano这样评论道：”Ferro在30年前就发现了这个法则，并把它传给了Fior。是Fior向Tartaglia挑战，使得Tartaglia有机会重新发现这一法则。Tartaglia在我的恳求之下把这个法则告诉了我，但Tartaglia保留了证明，我在获得这种帮助之下找到了它的证明“。

13、接下来就是Tartaglia对Cardano的严厉控诉，谴责Cardano的背信弃义。愤怒的Tartaglia向Cardano提出挑战，而Ferrari代替自己的老师接受了挑战。因为Ferrari已经发现了四次方程的求根公式，所以大败Tartaglia。Tartaglia名声扫地，在争吵和穷困中度过了晚年。

14、三次方程求根公式是枯燥的，但是公式背后的历史是有趣的；笔者无意评论Cardano和Tartaglia孰对孰错，每个读者心中自有看法。

五、三次方程不可约的情况：

1、一般的三次方程为aX3+bX2+cX+d=0，通过变量代换X=x-[b/(3a)]（前文提及的），一般的三次方程可以转化为缺二次项的三次方程x3+px+q=0，求解这个方程就可以了。

2、x^3+px+q=0的求根公式：

image.png

这里笔者就不给出求根公式的推导过程了。

3、注意到⊿要开平方，但⊿并不能保证一定大于0。也就是说，Cardano或是Tartaglia的用加减乘除和开方运算构造的求根公式里，可能要面临负数开平方的困境。

4、为了让读者更清晰地认识到矛盾所在，笔者举一个例子：

三次方程x^3+px+q=0，p=-10，q=6。

函数y=x^3-10x+6的图像大致为

image.png

函数曲线和x轴相交地点的x值，就是三次方程x^3-10x+6=0的根。

通过图像，我们可以清楚地看到这个三次方程有3个实根。

但是，⊿=(1/4)q2+(1/27)p3=-28.037<0！

5、也就是说，实系数的三次方程，对于⊿<0的情况，为了得到3个实根，根据求根公式，必须对负数开平方！这个结果对16世纪的数学家是难以接受的。

6、借助负数开平方得到实根的过程，实在难以让人满意，所以Cardano试图”修正“求根公式来避免这种情况。但是，所有的尝试都失败。Cardano无奈地把这种情况称为”三次方程不可约“情况。

7、为了处理这种情况，Cardano引入了虚数单位i，定义i^2=-1，使得求根公式可以正常运作。

8、那么这样的”修正“是否存在呢？直到19世纪，天才数学家伽罗瓦（Galois）才用他开创性的群论工具才给出答案：不存在！也就是说：”借助负数开平方得到实根的过程“是无法避免的！9 、这里必须强调的是：二次方程的求解之所以没有导致虚数i的引入，原因在于判别式⊿<0时方程确实没有实数解，直观地看就是函数曲线y=ax^2+bx+c与x轴确实没有交点，人们不会有兴趣更不会认为有意义而去为负数开平方动脑筋！

六、总结与反思：

1、数学似乎和所有人开了一个玩笑：当你认为有理数域完备的时候，你发现用自己证明的毕达哥拉斯定理居然发现了一大类怪胎，所以不得不把开方运算纳入系统；当你认为求根公式能解决所有三次方程的时候，你发现三个明显存在的实根居然要借助负数开平方，所以不得不定义”i2=-1”；至于定义了”i2=-1”之后，给代数和分析带来的诸多便利，那已经是后话。

2、这再次验证了笔者的话：“没有哪一位数学家，可以从一开始就预见他所定义创造的东西，能带来多少方便快捷”，或是存在多少缺陷；数学家都是摸着石头过河，一路上很多修修补补。课本中的斟字酌句的描述，未能表现出创造过程中的斗争、挫折，以及在建立一个客观的结构之前，数学家所经历的艰苦漫长的道路。

3、“i^2=-1”的故事，远不是一个简单的定义所能讲述的.

探讨三：复数最本质的特性是什么？为什么物理上需要，并且能够如此频繁地使用复数？楼上的答案都没有提到这一点，复数最重要的性质是旋转。也就是两个复数的积的辐角等于各自辐角的和。如果没有这一特性，复数在数学和物理上的地位不会像现在这么重要。

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先从原题说起，从根本上来看，为什么i是-1的平方根。如上图复数构成一个平面，实轴和虚轴正交。-1位于实轴负半轴，辐角为π（180度）。开平方，按照前面说的辐角的性质，即是辐角减半，变为π/2，也即虚轴正半轴上的i的位置。另一个解是辐角为3π/2的-i，因为-1的辐角也可以是3π。或者反过来看，一个复数乘以i，就相当于逆时针旋转π/2。那么i^2=1ii，就是把1旋转了2次π/2，正好落在-1上。举一反三，现在大家明白如何从复数旋转的角度，来说明为什么负负得正了吧？

理解了这一点，就很容易明白，为什么复数作为一个不那么自然的，人为发明的数，能够如此好地应用于物理了。比如极其重要的简谐振动，可以看成复平面单位圆上，做匀速圆周运动的点，在实轴上的投影。既然是旋转，那么用时间的指数函数就可以表达了，并且求导非常方便。

探讨四：首先 -1 可以是什么？我们用最简单的例子讲，cos(\pi )=-1按照i的定义，i是-1的平方根，或者i\cdot i=-1，于是我们有：cos(\pi)=i\cdot i接着来：cos(\pi)=cos(\pi/2+\pi/2)=i\cdot i

如果你的代数感觉好，你马上就觉得上面的式子有一些“代数味道”。是的，一个角度为\pi的旋转，可以看作两个角度为\pi/2的旋转之和。i和i的乘法，也有类似的交换群的感觉。索性，我们把式子补齐：cos(\pi)=cos(\pi/2+\pi/2)=-1sin(\pi)=sin(\pi/2+\pi/2)=0

还记得三角恒等式么：cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)

针对一个任意角度，把cos部分作为实部，把sin部分作为虚部，用三角不等式就可以构造出复数的乘法，这就是复数乘法的意义。改写成：cos(a+b) + isin(a+b) = [cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)] + i[sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)]也就是教科书上看到的形式：z_{1} \cdot z_{2} = (x_{1} + iy_{1}) \cdot (x_{2} + iy_{2}) = [(x_{1} x_{2}) - (y_{1} y_{2})] + i[(x_{1} y_{2}) - (x_{2} y_{1})]

如果你有兴趣，请玩欧拉公式，去了解这种乘法计算中的各种有趣的地方。

至于i么，其实就是复平面上的一个自然基。i的“全称”是：i=[0, 1]^{T} =[cos(\pi/2), sin(\pi/2)]^{T}

小结一下：在实数上玩的时候（比如代数多项式的根），常常发现数不够用，于是把实数扩张成复平面。复数（域）的运算限制在实轴（域）上都是成立的。i的平方所以是-1，这样理解：平方是同一变换两次合成的结果。把实数乘法单位元1变换成-1（加法群逆元），需要在复数域中表达为一个角度为\pi的旋转变换，或者看作两个角度为\pi/2旋转变换的合成。因此，i只是一个\pi/2旋转变换的结果。

我们刚才都是从代数在讲。我们注意从分析上：cos(x)^{'} = -sin(x)sin(x)^{'} = cos(x)各种导数，都无非是在相位上变换；欧拉公式也能看出，乘除和指对数也都是在相位上变换；就不难理解为什么那么多物理现象需要用复数来描述了。

7. 为什么XGBoost在机器学习竞赛中表现如此卓越？

在此简单补充一点，希望能给你带来帮助：【预测领域中的真“绝色”：XGBoost】

全文共3492字，预计学习时长15分钟

前几天，Z同学面试完一脸生无可恋地问我，“你知道XGBoost吗？”“当然知道啊，前几天不看你还在手推来着。”“嗯，那你知道XGBoost的中英文全称是啥么？”“ummmmm...X的话难道是罗马数字10? G的话Gradient梯度，Boost的Boosting tree？所以是第十代梯度提升树？”“。。。换你答，你也凉。”

图片来源：SOOGIF网站

学习算法的最大误区还记得那个吐槽清华某毕业生连手写红黑树都不会却张口就要一万八的HR吗？

这事曾一度引起网友的广泛关注和热烈讨论，不过圈子不同，影响不同。对于普通吃瓜群众，“HR说得对，太膨胀。”对于某些资深程序猿，“我也不会，我月薪30k。”对于求职小白，“好慌，手写红黑树？面试不会还要手推SVM、XGBoost吧？溜了溜了，去推泰勒二次展开了。”然后，就像我的同学小Z一样，只顾着埋头推导XGBoost的二阶泰勒展开，却连XGBoost的中英文全称都答不上来。顾此失彼，乃是兵家大忌。很多时候，我们在学习算法时，要么过于纠结弄懂原理而忽略了从宏观上对算法有一个总体的了解和把握，要么是囫囵吞枣一口气看个十来篇博客介绍却往往还是一知半解不求甚解，可能还会莫名自我感觉良好。

基于此，本文就从宏观上来帮大家梳理梳理XGBoost，力求通俗易懂，精准得当。至于算法原理和资源链接嘛，请直接拜读陈天奇博士的论文XGBoost: A Scalable Tree Boosting System，同时请参考Github上的开源资源进行源码的学习和实战（https://github.com/dmlc/xgboost）。

什么是 XGBoost?

原图来自Unsplash（by Jared Subia）

十几年前，回归建模是预测分析中毫无争议的女王。但如今回归建模的时代已经结束，XGBoost已被成功加冕！XGBoost的英文全称为Extreme Gradient Boosting, 中文可以解释为极端梯度提升（Extreme，一听就很牛X），它是一种基于决策树的集成机器学习算法，采用了梯度提升（Gradient Boosting）框架。在预测有关非结构化数据（如图像、文本等）的问题时，人工神经网络往往表现得比其他算法或框架更出色。但在有关中小型结构/表格数据方面，基于决策树的算法则是目前为止的最佳方式。请参阅以下图表，了解几年来基于决策树的算法演变。

基于决策树的算法演变

XGBoost算法最初由华盛顿大学的一个研究项目发展而来。2016年，陈天奇和卡洛斯·格斯特林在知识发现和数据挖掘（SIGKDD）会议上共同发表了一篇论文，一时间这轰动了整个机器学习领域。自算法提出以来，它不仅帮助竞赛者赢得了多场Kaggle竞赛的胜利，还被几款尖端行业的应用所采纳。在GitHub上，有一群强大的数据科学家们为XGBoost开源项目提供帮助，约有350名科学家，总提交次数约为3,600次。

总体而言，XGBoost具有以下特征：

1. 应用广泛：可用于解决回归、分类、排名和用户定义的预测问题。

2. 移植性强：可在Windows、Linux和OS X上流畅运行。

3. 语言支持：支持目前主要的全部编程语言，包括C ++、Python、R、Java、Scala和Julia。

4. 云集成：支持AWS、GCE、Azure和 Yarn集群，可以与 Flink、Spark和其他云数据流系统集成。

通俗理解基于决策树的算法演变

照片来自Unsplash（by rawpixel）

假设你是一名面试官，正在面试几位资历优秀的候选人。基于决策树的算法演变中的每一环，都可看作面试过程的一部分。

1. 决策树：每名面试官都有一套面试评价标准，如教育水平、工作经验以及面试表现，通过决策树来预测分析，就类似于面试官根据他自己的标准面试候选人。

2. Bagging：假设现在面试官不止一名，而是一个面试小组，每名面试官都有一票，Bagging（也称作bootstrap aggregating）意味着通过民主投票方式，将所有面试官的投票结果进行输入，从而做出最终决定。

3. 随机森林：这是一种基于bagging的算法，与bagging的不同在于仅随机选择特征的子集。换句话说，每名面试官只会根据某些随机的资质测试方式（例如，测试编程技能的技术面试和非技术技能评估的行为面试）来考查面试者。

4. Boosting：这是一种动态评估方法，每位面试官根据前一位面试官的反馈，改变评估标准。通过部署更加动态的评估流程，“提高”面试流程的效率。

5. Gradient Boosting：这是Boosting的一种特殊情况，通过梯度下降算法将误差最小化，打个比方说，就好比战略咨询公司利用面试案例，剔除不合格的候选人。

6. XGBoost：将XGBoost视为强化版的的gradient boosting，毕竟extreme不是随随便便就能“冠”名的。它是软件和硬件优化技术的完美结合，可在最短的时间内，使用较少的计算资源，得到较为出色的结果。

XGBoost为什么这么“绝”？XGBoost之所以能叫XGBoost，因为她够“绝”（够Extreme）。XGBoost和Gradient Boosting Machines（GBMs）都是基于决策树的集合方法，通过梯度下降架构来提升较弱学习者（通常是CARTs）。通过系统优化和算法增强，XGBoost进一步改进了基础GBM框架。

XGBoost 如何优化GBM 标准算法

系统优化：

1. 并行化：

XGBoost通过多线程实现了回归树的并行构建。由于用于构建基础学习者的循环具有可互换性，因此设计并行是可能的。外部循环枚举树的节点，内部循环则计算特征。这种循环嵌套在一定程度上限制了并行化，当没有完成内部循环，外部循环就无法启动。因此，为改善运行时间，可通过对所有实例的全局扫描实现初始化，使用并行线程分类来交换循环顺序。这一交换通过抵消计算中的并行化开销，提高算法性能。

2. 决策树剪枝：

当剪枝分裂遇到一个负损失时，GBM会停止分裂。因此GBM实际上是一个贪心算法（只求达到局部最优解就ok）。但XGBoost会一直分裂到指定的最大深度(max_depth)，然后回过头来剪枝。这种“深度优先”方法显著提高了计算性能。

3.硬件优化：

该算法旨在有效利用硬件资源。通过在每个线程中分配内部缓冲区，存储梯度统计信息，获取缓存感知。诸如“核外”计算等进一步增强功能可优化可用磁盘空间，同时处理不适合保存的大数据帧。

算法增强：

1. 正则化：

通过LASSO（L1）和Ridge（L2）正则化来对更为复杂的模型进行惩罚，防止过度拟合。

2. 稀疏性感知：

XGBoost具有稀疏性的离散特征，根据训练缺失自动“学习”最佳缺失值，并且可以更有效率地处理数据中不同类型的稀疏模式。

3. 加权分位数草图：

XGBoost采用分布式加权分位数草图算法，有效地找到加权数据集中的最佳分裂点。

4. 交叉验证：

在每次迭代时，该算法都有内置的交叉验证方法，无需显式地对搜索进行编程或明确在指定单次运行中所需的增强迭代数量。有何证据？我们使用Scikit-learn的“Make_Classification”数据包创建了一个包含20类特征（2类信息型和2类冗余型）的100万个数据点的随机样本。我们测试了几种算法，如逻辑回归、随机森林、标准Gradient Boosting和XGBoost。

使用SKLearn的Make_Classification数据集比较XGBoos与其他机器学习算法如上图所示，与其他算法相比，XGBoost模型是兼顾预测性能和处理时间的最佳预测方式。其他严格的基准研究也产生相同结果。正因如此，XGBoost在最近的数据科学竞赛中被广泛使用。如有疑问，请使用XGBoost。——Kaggle网站上Avito Context Ad Click Prediction竞赛的获奖者OwenZhang

XGBoost的未来尽管就目前而言，XGBoost的王座还难以撼动。但机器学习这一领域的学者大都比较活跃，而且不畏权贵，一心恋战。目前已有几种据说可以匹敌XGBoost的新算法框架被提出，比如微软研究中心新发布的LightGBM框架和Yandex Technology开发的CatBoost框架。

图片来源：RSG Media网站

每当NIPS/ICML/KDD等顶级会议上一有新的算法被提出，最忙活的可能就是数据科学家了。数据科学家们必须测试所有可能的数据算法，以保证最终选择的算法是最佳的。

此外，选择正确的算法还远远不够，还必须通过不断调整超参数，正确对算法数据集进行配置。

此外，如何选择最佳的算法还有其他几个值得考虑的因素，例如算法的计算复杂度、可解释性以及实现的难易程度。而这正是机器学习开始从科学走向艺术的时刻。历史的车轮总是在不断向前滚动。XGBoost的铁王座早就被许多人觊觎垂涎，开发一个优于XGBoost的更强大的模型框架只是时间上的早晚问题。然而，在强大的挑战者出现之前，XGBoost将继续统治机器学习的世界！

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